苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3-2x+1（其中0≤x

Question

苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3-(2)/(x+1)（其中 0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品 p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+(20)/(p)）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．
（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；
（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？

Answer 1

（1）由题意知，y=(4+(20)/(p))p-x-(10+2p)，将p=3-(2)/(x+1)代入化简得：y=16-(4)/(x+1)-x(0≤x≤a)．
（2）y′=-1-(-4)/((x+1)2)=(-(x+1)2+4)/((x+1)2)=-(x2+2x-3)/((x+1)2)=-((x+3)(x-1))/((x+1)2)．
①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'>0，所以函数y=16-x-(4)/(x+1)在（0，1）上单调递增；
x∈（1，a）时，y'<0，所以函数y=16-x-(4)/(x+1)在（1，a）上单调递减，
∴促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大．
②当a<1时，因为函数y=16-x-(4)/(x+1)在（0，1）上单调递增，y=16-x-(4)/(x+1)在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上所述，当 a≥1时，促销费用投入 1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．