设生产某种产品必须投入两种元素，x1和x2分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x1αx2β，其中α、β为正常数，且α+β=1．假设两种元素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12

Question

设生产某种产品必须投入两种元素，x₁和x₂分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x1αx2β，其中α、β为正常数，且α+β=1．假设两种元素的价格分别为p₁和p₂，试问：当产出量为12时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小．

Answer 1

由于：生产某种产品必须投入两种元素，x₁和x₂分别为两元素要投入量，两种元素的价格分别为p₁和p₂，
所以：投入总费用f=x₁p₁+x₂p₂
因为：生产函数为Q=2x1αx2β，其中α、β为正常数，且α+β=1，产出量为12，
所以：12＝2x1αx2β，
于是：x1＝(6x2−β)(1)/(α)=

α

6

x2−(β)/(α)，
从而：f=x₁p₁+x₂p₂=

α

6

x2−(β)/(α)p1+x2p2，
计算：f′＝(df)/(dx2)＝

α

6

(−(β)/(α))x2−(β)/(α)−1p1+p2
倘若：f′＝0，则x2＝((α6βp1)/(αp2))α=6((βp1)/(αp2))α，
令：6((βp1)/(αp2))