初三数学题一道水平地面上有一面积为30π平方厘米的扇形OAB,其中OA的长度为6厘米,且与地面垂直,若在没有滑动的情况下,将图一的善行向右滚动至OB垂直地面为止,如图二所示1在扇形滚动过程

Question

初三数学题一道
水平地面上有一面积为30π平方厘米的扇形OAB,其中OA的长度为6厘米,且与地面垂直,若在没有滑动的情况下,将图一的善行向右滚动至OB垂直地面为止,如图二所示
1 在扇形滚动过程中,O点所经过的路径是什么图形?
2 在扇形滚动过程中,求B点所经过的路径是多少厘米?

Answer 1

【解】：
【1】点O经过的路径是与水平地面平行的直线.有2种方法得到.
【方法一】：扇形OAB是圆的一部分,把扇形补全成一个圆.
因为,圆在水平地面上滚动时,圆心的高度是不变的.
所以,作为圆的一部分,扇形OAB在水平地面上滚动时,O点的高度也是不变的,则点O的轨迹是与水平地面平行的直线.
或者更通俗的把扇形OAB看着车轮的一部分,车轮在水平地面上滚动时,车轮的旋转轴永远把持与水平地面平行,那么车轮的轴心前进的轨迹也是一条与水平地面平行的直线.
所以,扇形OAB的圆心O的前进轨迹是与水平地面平行的直线.
【方法二】：
扇形OAB在水平地面上前行时,一直与地面相切,即地面是扇形的切线,切点与圆心O的连线与地面垂直.
切点的轨迹是扇形的边缘在地面上前行时形成的直线,由于切点与圆心O的连线与切点的轨迹形成的直线垂直,且每一时刻圆心O与切点的距离恒等于半径.
所以,圆心O的前进轨迹也是一条直线,且该直线与扇形边缘在地面上前进形成的直线平行.
【2】
因为圆心O前进形成的直线与切点在地面上形成的直线平行,圆心O与对应的切点连线时刻保持与地面垂直,且圆心O与切点的距离恒等于扇形半径.
那么,任意两个时刻,圆心O与切点的连线的2条半径和圆心O前行形成的线段,切点前行形成的线段,共同围成一个矩形.
所以,圆心O和切点前行的距离是相等的.
设扇形OAB的圆心角∠AOB=x 扇形OAB的弧长L ,圆的周长C
则,S扇形 / S圆 = x / 360°
L扇形 / C圆 = x / 360
所以,S扇形 / L扇形 = S圆 / C圆
因为,S圆 / C圆 = r / 2
所以,S扇形 / L扇形 = r / 2
S扇形=30π
则,L扇形 = 2S扇形 / r
=2*30π / 6
=10π
切点前进的距离即扇形的弧在地面上形成的距离.
因为,圆心O前进的距离与切点前进的距离相等
所以,圆心O经过的距离是10π cm
在扇形滚动过程中,点O所经过的路径是10π cm
PS：把点B改成点O ,点B的路径是一条摆线（三角曲线）,计算非常繁杂.