辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天41036市场价y元9051

Question

辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	4	10	36
市场价y元	90	51	90

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b；②y=ax²+bx+c；③y=alog_bx；
（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）设你选取的函数为f（x），若对任意实数k，方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y=ax+b和y=alog_bx显然都是单调函数，不满足题意，
∴y=ax²+bx+c…（4分）
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得

a•42+4b+c＝90

a•102+10b+c＝51

a•362+36b+c＝90

⇒

a＝(1)/(4)

b＝−10

c＝126

…（6分）
∴y＝(1)/(4)x2−10x+126＝(1)/(4)(x−20)2+26
∴当x=20时，y有最小值，y_min=26…（8分）
故，辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元…（9分）
（3）由（2）知f(x)＝(1)/(4)x2−10x+126，又∵f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则(1)/(4)x2−(k+10)x+6−2m＝0恒有两个相异的零点，所以△1＝[−(k+10)]2−4×(1)/(4)(6−2m)＞0恒成立，…（11分）
即k²+20k+2m+94＞0对k∈R恒成立，
所以，△2＝202−4(2m+94)＜0，…（12分）
解得m＞3．故，m的取值范围为（3，+∞）．…（14分）