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A,B,C三人进行乒乓球比赛,优胜者按以下规则决出:(Ⅰ)三人中两人进行比赛,胜出者与剩下的一人进行比赛,直到出现两连胜者,则此两连胜者呗判定为优胜者,比赛结束;(Ⅱ)在
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A,B,C三人进行乒乓球比赛,优胜者按以下规则决出:
(Ⅰ)三人中两人进行比赛,胜出者与剩下的一人进行比赛,直到出现两连胜者,则此两连胜者呗判定为优胜者,比赛结束;
(Ⅱ)在每次比赛中,无平局,必须决出胜负.
已知A胜B的概率是
,C胜A的概率是
,C胜B的概率是
,第一场比赛在A与C中进行
(1)分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率;
(2)记第3n-1场比赛后C为优胜者的概率为pn,第3n场比赛后C为优胜者的概率为qn,第3n+1场比赛后C为优胜者的概率为rn,n∈N*试求pn,qn,rn.
(Ⅰ)三人中两人进行比赛,胜出者与剩下的一人进行比赛,直到出现两连胜者,则此两连胜者呗判定为优胜者,比赛结束;
(Ⅱ)在每次比赛中,无平局,必须决出胜负.
已知A胜B的概率是
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(1)分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率;
(2)记第3n-1场比赛后C为优胜者的概率为pn,第3n场比赛后C为优胜者的概率为qn,第3n+1场比赛后C为优胜者的概率为rn,n∈N*试求pn,qn,rn.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可知第二场比赛后C为优胜者的情况为(C-A)→(C-B)→C,
故其概率为
×
=
; (独立事件同时发生的概率)
由题意可知第三场比赛后C不可能为优胜者,故其概率为0;(不可能事件的概率)
由题意可知第四场比赛后C为优胜者的情况为(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→C,
故其概率为
×
×
×
=
.(独立事件同时发生的概率)
(2)第一场A与C的比赛结果分两种情况:(分类讨论思想)
①A与C的比赛中C胜出,C如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行:
(C-A)→(C-B)→(B-A)→(A-C)→(C-B)→C,(n∈N*,共3n-1场)
对n∈N*,以上比赛进行的概率为:(
×
×
)n−1×
=
•(
)n−1,
此时C在第3n-1场比赛后成为优胜者;
②A与C的比赛中A胜出,C如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行:
(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→C,(n∈N*,共3n+1场)
对n∈N*,以上比赛进行的概率为:(
×
×
)n−1×
=
•(
)n,
此时C在第3n+1场比赛后成为优胜者.
综上所述,C在第3n-1场或者第3n+1场比赛后能成为优胜者,在第3n场比赛后不能成为优胜者,
所以pn=
•(
)n−1,qn=0,rn=
•(
)n,n∈N*.
故其概率为
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由题意可知第三场比赛后C不可能为优胜者,故其概率为0;(不可能事件的概率)
由题意可知第四场比赛后C为优胜者的情况为(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→C,
故其概率为
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(2)第一场A与C的比赛结果分两种情况:(分类讨论思想)
①A与C的比赛中C胜出,C如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行:
(C-A)→(C-B)→(B-A)→(A-C)→(C-B)→C,(n∈N*,共3n-1场)
对n∈N*,以上比赛进行的概率为:(
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此时C在第3n-1场比赛后成为优胜者;
②A与C的比赛中A胜出,C如果要成为优胜者,接下来的比赛按如下进行:
(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→(A-B)→(B-C)→(C-A)→C,(n∈N*,共3n+1场)
对n∈N*,以上比赛进行的概率为:(
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此时C在第3n+1场比赛后成为优胜者.
综上所述,C在第3n-1场或者第3n+1场比赛后能成为优胜者,在第3n场比赛后不能成为优胜者,
所以pn=
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