“第一宇宙速度”是怎么推导出来的?

Question

“第一宇宙速度”是怎么推导出来的?

Answer 1

第一速度：牛顿抛物运动原理图反映出从高山上水平抛出的物体不可能作直线运动.我们要想使水平抛出的物体不再落回到地面,必使物体运动轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同或更小,即至少使物体的绕地球旋转的轨迹与地球表面相似且二者为同心圆,这样物体就不会落回地面了.如图2示为地球的部分断面,现在把物体从山顶上A点以水平速度V抛射出去,如果没有地球的引力作用则1秒钟后物体将到达B点,但由于地球的引力物体在1秒时实际到达位置C；地球为均匀球体设其表面重力加速度为g,故由自由落体运动可知；倘若物体到达点C时距地面的高度与点A处距地面的高度相同,则物体就会沿着与地球同心的圆作圆周运动而不再落回地面上；图2中,AD=6370000米,再由勾股定理有即,解之得在山顶水平抛出物体的速度为.由此可见：要将物体从山顶A水平抛出后不再落回地球表面,则点A的抛出速度必满足,这就是人造地球卫星的第一宇宙速度.
第二速度：第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星,或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度,也叫脱离速度．
设物体的质量为m,由地面克服地球引力飞至无穷远处,需做多少功呢?
地面a处离地心为R0,即Oa＝R0,Ob＝R1,Oc＝R2…O∞＝R∞
物体在a处受引力F0＝G ；b处受引力F1＝G ；…
物体由a移到b,需克服引力做功W1＝ 01(ab)．由于F0到F1中力是变化的,为此采取近似方法：
01＝G
这样由于 ,故F0＞ 01＞F1
所以W1＝G
即W1＝GMm( )(物体由a→b)
同理 W2＝GMm( )(物体由b→c)
W3＝GMm( )(物体由c→d)
…
W∞＝GMm( )
物体由a移到无限远处时,共需做功
W＝W1＋W2＋…＝GMm( )＝GMm/R0．式中 ＝0
故物体在地面上需要具有动能 mv22＝GMm/R0
所以,第二宇宙速度v2＝ ＝11.2 km/s(式中G为引力常量,M为地球的质量,R0为地球半径)