某个星球，质量是地球质量的4倍，半径是地球半径的4倍．在其表面有如图所示的装置，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道．今在离B距离为x的A点，用水平推力将质量

Question

某个星球，质量是地球质量的4倍，半径是地球半径的4倍．在其表面有如图所示的装置，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道．今在离B距离为x的A点，用水平推力将质量为m的质点从静止开始推倒B处后撤去水平推力，质点沿半圆轨道运动到C后又正好落回到A点，地球表面的重力加速度为g，求：
（1）该星球表面的重力加速度．
（2）推力对小球所做的功．（用m、g、R、x表示）
（3）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最小？最小功为多少？

Answer 1

（1）对放在地球表面的物体m有：mg＝G(mM地)/(R2地)
对放在某星球表面的物体m有：mg′＝G(m(4M地))/((4R地)2)
联解得：g′＝(1)/(4)g
（2）对由A到C的过程中，由动能定理得：WF−mg′(2R)＝(1)/(2)m

v

2 C

在C到A的过程中有：2R＝(1)/(2)g′t2
x=v_Ct
解得：WF＝(1)/(2)mg(R+(x2)/(16R))
（3）在C点有：v_c≥√(Rg′)
解得 x=2R
则WFmin＝(5)/(8)mgR
答：（1）该星球表面的重力加速度为(1)/(4)g．
（2）推力对小球所做的功为(1)/(2)mg(R+(x2)/(16R))．
（3）x取2R时，完成上述运动推力所做的功最小，最小功为(5)/(8)mgR．