如图所示，质量分布均匀的小球，质量为m、半径为R；倾角α=45°的斜面体，质量为M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面体底角刚好与墙角接触．撤去推力后小球和斜面体均做匀加

Question

如图所示，质量分布均匀的小球，质量为m、半径为R；倾角α=45°的斜面体，质量为M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面体底角刚好与墙角接触．撤去推力后小球和斜面体均做匀加速直线运动，直到小球恰好落地．不计一切摩擦，重力加速度为g．

（1）求静止时，水平推力F的大小；
（2）试判断在撤去水平推力的瞬间，小球和斜面体之间的弹力是保持不变、突然增大，还是突然减小，并证明在撤去水平推力后，小球和斜面体做匀加速直线运动时加速度的大小相等；
（3）求撤去水平推力后，球着地瞬间斜面体的速度大小．

Answer 1

（1）对小球分析：受到重力mg、墙壁的弹力F₁、斜面体的支持力F₂．如下图所示．

对小球由平衡条件得到 F₁=mgtanα=mg
对整体整体平衡得到 F=F₁=mg
（2）在撤去水平推力的瞬间，小球和斜面体之间的弹力突然减小 
设在撤去水平推力后，小球和斜面体做匀加速直线运动的位移的大小分别是x_m和x_M，加速度的大小分别是a_m和a_M，则由几何关系可知
 (xm)/(xM)=tan45°
又 x_m=(1)/(2)amt2，x_M=(1)/(2)aMt2
联立可得   a_m=a_M                     
（3）由几何关系得到小球的重心位置下降高度△h=2Rcos45°=√(2)R

撤去水平推力后：
“小球+斜面体”系统机械能守恒得：
  mg△h=(1)/(2)m

v

2 m

+(1)/(2)M

v

2 M

        
小球和斜面体之间的速度关系 v_m=v_Mtan45°               
解得 v_M=√(2√(2)(m)/(M+m)gR)
答：
（1）静止时，水平推力F的大小是mg．
（2）证明见上．
（3）撤去水平推力后，球着地瞬间斜面体的速度大小是√(2√(2)(m)/(M+m)gR)．