关于求极限的问题我在计算一个极限的时候得到这样一个式子：x→0时,(xcosx-sinx)/x^3我用三种做法做出来了2种不同的结果,请大家帮我看看我到底错在哪里了,我看了几天都不明白.一：分子分

Question

关于求极限的问题
我在计算一个极限的时候得到这样一个式子：x→0时,(xcosx-sinx)/x^3
我用三种做法做出来了2种不同的结果,请大家帮我看看我到底错在哪里了,我看了几天都不明白.
一：分子分母同时除以x.有(xcosx-sinx)/x^3=(cosx-(sinx/x))/x^2
=(cosx-1)/x^2=-0.5x^2/x^2=-0.5
二：零比零的极限,用罗比达法则,得到-xsinx/3x^2,等价无穷小替换,
得到答案-1/3
请问我的第一种解法错在哪里了?在于哪个知识点的理解不对?还有,在这个极限的计算中,第一步可以直接把cosx的极限=1代入吗?什么情况可以代入什么情况不能代入?

Answer 1

cosx-(sinx/x)中间如果你直接把sinx/x用1代就可能出现问题.当x→0时,cosx→1,sinx/x也→1,2个趋于1的量相减是无穷小量.这就是第一种错误解法的根源所在.举个简单例子,{（1+x^2）-（1-x^2）}/x^2当x→0时,极限是2.但...