证明,当x不等于0时,f(x)=xsin(1/x),当x=0,f(x)=0,在x=0处不可导

Question

证明,当x不等于0时,f(x)=xsin(1/x),当x=0,f(x)=0,在x=0处不可导

Answer 1

证明 lim(x-->0+)(f(x)-f(0)/x 极限不存在.
设 xn=1/(n pi),
则 lim(n-->无穷大)(f(xn)-f(0)/xn=lim(n-->无穷大)sin(1/xn)=lim(n-->无穷大)sin(n pi) =0
设 yn=1/(2n pi + pi/2),
则 lim(n-->无穷大)(f(yn)-f(0)/yn=lim(n-->无穷大)sin(1/yn)=lim(n-->无穷大)sin(2npi + pi/2) =1
说明有两个 趋于0的序列,其函数值有不同极限.所以 lim(x-->0+)(f(x)-f(0)/x 极限不存在.
于是f在x=0处不可导