设a,b,c均为非零负实数,求证√（a²;+b²;)+√（b²;+c²;)+√（c²;+a²;)≥√(2)*(a+b+c)

Question

设a,b,c均为非零负实数,求证√（a²;+b²;)+√（b²;+c²;)+√（c²;+a²;) ≥ √(2)*(a+b+c)

Answer 1

均值不等式：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn （a1,a2……,an为非负数）
当n=2时,其可以表示为
2/[(1/a)+(1/b)]=2(a+b)/ab≤√ab≤(a+b)/2≤√【(a²+b²)/2】=【(√2)/2】•√(a²+b²)
现在我们要利用的是最后面的 (a+b)/2≤【(√2)/2】•√(a²+b²)
即√(a²+b²)≥【(√2)/2】•(a+b)
因为a,b,c为非负实数【原题中写的是“非零负实数”,似乎不对,于是就改了】
所以√（a²+b²)+√（b²+c²)+√（c²+a²)
≥【(√2)/2】•(a+b)+ 【(√2)/2】•(b+c)+ 【(√2)/2】•(c+a)
=(√2)•(a+b+c)
原命题得证
【希望对你有帮助】