当复积分在积分区域内有两个以上奇点时是不是可以将他分成多个小区域内只有一个奇点在用柯西定理呢?书上是这样的,＄dz/z(z-1)其中C:是|z|=1原式＝＄1dz/z(z-1)+＄2dz/z(z-1)其中＄1的区域是|z|=1/

Question

当复积分在积分区域内有两个以上奇点时是不是可以将他分成多个小区域内只有一个奇点在用柯西定理呢?
书上是这样的,＄dz/z(z-1)其中C:是|z|=1
原式＝＄1dz/z(z-1)+＄2dz/z(z-1)其中＄1的区域是|z|=1/3,＄2的区域是|z-1|=1/3那么他们在各自区域内只有一个奇点可以用柯西公式!为什么可以这样分呢我就是不明白?

Answer 1

柯西－古萨基本定理：
如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,那么f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为0.即∮f(z)dz=0
推广（复合闭路定理）：设C为多连通域D内的一条简单闭曲线,C1、C2……、Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C1、C2……、Cn为边界的区域全含于D,如果f(z)在D内解析,那么∮f(z)dz＝∑∮（Ck下标）f(z)dz
你看的书上应该也有这两个定理.注意后一个定理中的∑符号,在这里就已经是把所有的奇点都要加起来!证明看书.
另外,这个定理有几点要注意的：
1.奇点是否在被积区域内,如果在,就要加起来；如果奇点在被积区域外,则不用考虑.
2.由于Cn为任意的简单闭曲线,所以【＄1的区域是|z|=1/3,＄2的区域是|z-1|=1/3】求这个的时候曲线可以自己任意假设
3.求的时候不要忘了乘以2πi