某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售

Question

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

（1）设日销售量为(k)/(ex)，则(k)/(e40)＝10，
∴k＝10e40，则日售量为(10e40)/(ex)件．（2分）
则日利润L(x)＝(x−30−a)(10e40)/(ex)＝10e40(x−30−a)/(ex)；（4分）
（2）L′(x)＝10e40(31+a−x)/(ex)（7分）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35＜x＜41时，L′（x）＜0
∴当x=35时，L（x）取最大值为10（5-a）e⁵（10分）
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为10e^9-a（13分）
综合上得L(x)max＝

10(5−a)e5，(2≤a≤4)

10e9−a，(4＜a≤5)

．（15分）