已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图，点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，-3），直线y=-34x与边BC相交于点D．（1）求点D的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表

Question

已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图，点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，-3），直线y=-(3)/(4)x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式．
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，

∵四边形OABC是矩形，点C的坐标为（0，-3），
∴y_D=y_C=-3．
∴-(3)/(4)x_D=-3．
解得：x_D=4．
∴点D的坐标为（4，-3）．

（2）∵点O（0，0）、点A（6，0）、点D（4，-3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

c＝0

36a+6b+c＝0

16a+4b+c＝−3

．
解得：

a＝(3)/(8)

b＝−(9)/(4)

c＝0

．
∴该抛物线的解析式为y=(3)/(8)x²-(9)/(4)x．

（3）①若OA为梯形的底边，如图2，

则有DM∥OA．
∴y_M=y_D=-3．
∴(3)/(8)x_M²-(9)/(4)x_M=-3．
解得：x₁=2，x₂=4．
∴点M的坐标为（2，-3）．
②若OD为梯形的底边，如图3，

则有AM∥OD．
设AM的解析式为y=-(3)/(4)x+b，
则有-(3)/(4)×6+b=0．
解得：b=(9)/(2)．
∴AM的解析式为y=-(3)/(4)x+(9)/(2)．
联立

y＝−(3)/(4)x+(9)/(2)

y＝(3)/(8)x2−(9)/(4)x

解得：

x＝6

y＝0

或

x＝−2

y＝6

∴点M的坐标为（-2，6）．
③若AD为梯形的底边，如图4，

则有OM∥AD．
同理可得：点M的坐标为（10，15）．
综上所述：符合条件的点M的坐标为（2，-3）或（-2，6）或（10，15）．