直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，D、E分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使△ADE沿DE折起，使△ADC为等边三角形，如图所示．（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABC；（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积

Question

直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，D、E分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使△ADE沿DE折起，使△ADC为等边三角形，如图所示．
（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABC；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

证明：（1）∵D、E是边AC、AB的中点，即DE是VABC的中位线，
∴DE⊥AC，
∵DE⊥DC，
∴DE⊥平面ADC，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ADC，
∴面ADC⊥面ABC；
（2）过点A作AM⊥CD，
∴AM⊥平面CBED，
∵M是DC的中点，AM=(3)/(4)，
∴四棱锥A-BCDE的体积V=(1)/(3)×(3)/(4)×((1)/(2)+1)/(2)×(√(3))/(2)．
=(3√(3))/(32)．