在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，△FMH是等腰直角三角形吗

Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，△FMH是等腰直角三角形吗？请说明理由；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，△FMH是等腰直角三角形吗？请说明理由；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

Answer 1

（1）△FMH是等腰直角三角形．
∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB=BM=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°，
在△FBM和△MDH中，

FB=DH

∠FBM=∠MDH=90°

BM=MD

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90°，
∴FM⊥HM，
∴△FMH是等腰直角三角形；

（2）△FMH是等腰直角三角形，
连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF

∠FBM=∠MDH

MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠APM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形；

（3）△FMH是等腰直角三角形．
连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF

∠FBM=∠MDH

MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠APM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．