卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了

Question

卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）是平面内两个定点，|PF₁|•|PF₂|=a²（a是定长），得出卡西尼卵形线的相关结论：①既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a=c，则曲线过原点；③若0<a<c，则曲线不存在；④若0<c<a，则a²-c²≤x²+y²≤a²+c²．其中正确命题的序号是___．

Answer 1

由题意设P（x，y），则√((x+c)2+y2)•√((x-c)2+y2)=a²，
即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，
①把方程中的x被-x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；把方程中的y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称；故①正确；
②a=c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，即故②正确；
③∵（|PF₁|+|PF₂|）_min=2c，（当且仅当，|PF₁|=|PF₂|=c时取等号），∴（|PF₁||PF₂|）_min=c²，∴若0<a<c，则曲线不存在，故③正确；
④若0<c<a，则类比椭圆的性质，可得a²-c²≤x²+y²≤a²+c²，故④正确．
故答案为：①②③④．