某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N的俯角β=45°．已知MN所在直线与PC

Question

某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N的俯角β=45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

Answer 1

（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，
∴EN=PE=30，
在Rt△PEM中，∠PME=31°，
tan∠PME=(PE)/(ME)，
∴ME=(PE)/(tan31°)≈50，
∴MN=EM-EN=20；
（2）过点F作FM∥AD交AH于点M′，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N′，
则四边形DFM′A为平行四边形，
∴∠FM′A=∠DAB，DF=AM=′3，
由题意得，tan∠FM′A=tan∠DAB=4，tan∠H=(2)/(3)，
在Rt△FN′H中，N′H=(FN)/(tan∠H)=36，
在Rt△FN′M′中，M′N′=(FN)/(tan∠FMA)=6，
∴HM′=30，AH=33，
梯形DAHF的面积为：(1)/(2)×DN′×（DF+AH）=432，
所以需填土石方为432×100=43200，
设原计划平均每天填x立方米，由题意得，
12x+（(43200)/(x)-12-20）×1.5x=43200，
解得，x=600，
经检验x=600是方程的解，
原计划平均每天填筑土石方600立方米．