游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图1），我们把这种情况抽象为如图2的模型：圆弧轨道的下端与竖直圆轨道相接于M点，使小球从弧形轨道上距离M点竖直高

Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图1），我们把这种情况抽象为如图2的模型：圆弧轨道的下端与竖直圆轨道相接于M点，使小球从弧形轨道上距离M点竖直高度为h处滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点N，不考虑摩擦等阻力．

（1）若h=5R，求小球通过M点时的速度大小和通过N点时对轨道的压力；
（2）若改变h的大小，小球通过最高点时的动能E_K也随之发生变化，试通过计算在方格纸上作出E_K随h的变化关系图象（作在答题卡上）．

Answer 1

（1）设小球在M点的速度为v₁，小球由高度为h处下落至到达M点过程中，机械能守恒，取地面为零势能面，则：mgh＝(1)/(2)mv12…①
将h=5R代入①得 v₁=√(10gR)…②
设小球在通过圆轨道最高点时速度v₂，轨道对球的压力为N₂，根据机械能守恒定律，得
  mgh＝(1)/(2)mv22+2mgR…③
由牛顿第二定律得 mg+N2＝m(v2)/(R)…④
将h=5R代入③、④联立解得：N₂=5mg …⑤
（2）由③得：EK＝(1)/(2)mv2＝mgh−2mgR…⑥
由③、④得：N＝(2mg)/(R)h−5mg…⑦
由于N≥0   由⑦得：h≥2.5R
当h=2.5R时，E_K=0.5mgR  图中A（2.5，0.5）
当h=5R时，E_K=3mgR   图中B（5，3）
连接AB作出E_K--h变化图象如图所示．
答：
（1）小球通过M点时的速度大小为√(10gR)，通过N点时对轨道的压力为5mg；
（2）作出E_K随h的变化关系图象如图所示．