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若f（x）是一个定义在R上的奇函数,当x＜0时,f（x）=x（1-x）,证明函数g（x）=f（x）-x+1/x,x∈（0,1）是减函数
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若f（x）是一个定义在R上的奇函数,当x＜0时,f（x）=x（1-x）,证明函数g（x）=f（x）-x+1/x,x∈（0,1）是减函数
▼优质解答
答案和解析
当x＞0时,-x＜0
f(-x)+f(x)=0,f(-x)=-x(1+x)
∴f(x)=-f(-x)=x(1+x),x＞0
x∈(0,1)时
g(x)
=f(x)-x+1/x
=x²+1/x
g'(x)=2x-1/x²
g''(x)=2+2/x³＞0
g'(x)=0时,2x=1/x²,x³=1/2,x=(1/2)^(1/3)
∴在(0,(1/2)^(1/3))上g'(x)＜0,g(x)递减,在((1/2)^(1/3),1)上g'(x)＞0,g(x)递增,
f(-x)+f(x)=0,f(-x)=-x(1+x)
∴f(x)=-f(-x)=x(1+x),x＞0
x∈(0,1)时
g(x)
=f(x)-x+1/x
=x²+1/x
g'(x)=2x-1/x²
g''(x)=2+2/x³＞0
g'(x)=0时,2x=1/x²,x³=1/2,x=(1/2)^(1/3)
∴在(0,(1/2)^(1/3))上g'(x)＜0,g(x)递减,在((1/2)^(1/3),1)上g'(x)＞0,g(x)递增,
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