已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

Question

已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

Answer 1

设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），
易知CN=4-x，EM=4-y，
且有(NP−BC)/(CN)＝(BF)/(AF)（1分），
即(y−3)/(4−x)＝(1)/(2)，
∴y=-(1)/(2)x+5（2分），
S=xy=-(1)/(2)x²+5x（2≤x≤4）（3分），
此二次函数的图象开口向下（4分），
对称轴为x=5（5分）
∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大（6分）
对2≤x≤4来说，
当x=4，即PM=4时，S有最大值（7分）
S_最大=-(1)/(2)×4²+5×4=12（8分）．