如图所示，直角三角形内部有一矩形，求矩形的最大面积．

Question

如图所示，直角三角形内部有一矩形，求矩形的最大面积．

Answer 1

在Rt△POQ中，由勾股定理，得
PQ=50m．
作OE⊥PQ于E交AB于F，
∴(50OE)/(2)=(30×40)/(2)，
∴OE=24m．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥PQ，
∴△AOB∽△POQ，
∴(OF)/(OE)=(AB)/(PQ)，
设EF为x，则OF=24-x，
∴(24-x)/(24)=(AB)/(50)，
∴AB=(25(24-x))/(12)，
设矩形的面积为y，由题意，得
y=x×(25(24-x))/(12)，
∴y=-(25)/(12)（x-12）²+300
∵a=-(25)/(12)<0，
∴当x=12时，y_最大=300．
答：矩形的最大面积为300．