如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A

Question

如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m²a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当m＝(√(6)+√(2))/(2)时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

Answer 1

（1）∵BC与圆O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得AC＝rtan((3π)/(4)−θ)…（4分）
∴y＝m2aAB+aAC＝m2artanθ+artan((3π)/(4)−θ)，
∴y＝ar[m2tanθ+tan((3π)/(4)−θ)]，…（6分）
可得函数的定义域为：((π)/(4)，(π)/(2))…（8分）
（2）由（1）可得y＝ar[m2tanθ+tan((3π)/(4)−θ)]
=ar[m2tanθ+(−1−tanθ)/(1−tanθ)]
=ar[m2(tanθ−1)+(2)/(tanθ−1)+m2+1]
∵θ∈((π)/(4)，(π)/(2))，∴tanθ-1＞0，
∴m2(tanθ−1)+(2)/(tanθ−1)≥2√(2)m，
当且仅当m2(tanθ−1)＝(2)/(tanθ−1)，即tanθ=(√(2))/(m)−1时取等号，
又m＝<

作业帮用户 2016-12-12 举报

问题解析

（1）由题意可得AB=rtanθ，AC＝rtan(

√(6)+√(2)

(3π)/(4)−θ)，可得y＝ar[m2tanθ+tan((3π)/(4)−θ)]，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：((π)/(4)，(π)/(2))；
（2）由（1）可得y＝ar[m2tanθ+tan((3π)/(4)−θ)]，可化为y=ar[m2(tanθ−1)+(2)/(1−tanθ)+m2+1]，由基本不等式可得m2(tanθ−1)+(2)/(1−tanθ)≥2√(2)m，由取等号的条件可得答案．

名师点评

本题考点：

函数的定义域及其求法；基本不等式．

考点点评：

本题考查函数的定义域及其求法，涉及基本不等式的应用，属中档题．

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