矩阵特征方程中的三次方程怎么解矩阵的特征方程按行或者列展开时会出现一个一元三次方程没法解我看课本中都是提取公因式解出来的但真心不会提取

Question

矩阵特征方程中的三次方程怎么解
矩阵的特征方程按行 或者列展开时会出现一个一元三次方程 没法解 我看课本中都是提取公因式解出来的 但真心不会提取

Answer 1

有一个定理应该可以帮助你.
一个n次多项式的有理根（是根且为有理数）为正负p/q,那么p一定可以整除多项式的常数项,而q一定可以整除首项.
特征多项式的首项是1,故所有有理根均为正负常数项约数
一般人出题不会全出无理根（这样的话,必须要会解3次方程,这对于线性代数来说要求太高）,至少一个有理根,那么这样的问题就简单了.
Ps,另外三阶矩阵,特征多项式,可以用这样一套做法求出来,先算矩阵行列式的行列式,记为a0,再算所有的删去第i行第i列(i=1,2,3)得的子式(一共3个)的和,记为a1,再算对角线上各元素的和,记为a2,那么他的特征多项式为λ^3-a2λ^2+a1λ-a0
对于更高阶矩阵,该法也可以,但不一定比直算快,故不推荐.
例：求矩阵
1 2 2
2 1 2
2 2 1
注意到,a0=5,a1=-3+(-3)+(-3)=-9,a2=3
故特征多项式为λ^3-3λ^2-9λ-5
5的约数只有5和1,那么所有可能的有理数的特征值只能是正负1和正负5
经效验-1是特征值-1-3+9-5=0,故可以提λ+1,下面就变成2次,易解,我就不啰嗦了.