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设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ)数表如表1所示,若经过两次“操作

题目详情
是由 个实数组成的 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);
表1
1
2
3


1
0
1
(Ⅱ) 数表 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数 的所有可能值;
表2

(Ⅲ)对由 个实数组成的 列的任意一个数表 ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
是由 个实数组成的 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);
表1
1
2
3


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(Ⅱ) 数表 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数 的所有可能值;
表2

(Ⅲ)对由 个实数组成的 列的任意一个数表 ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
(I) 详见解析; (II)  或  ;(Ⅲ) 能,理由详见解析.


试题分析::(I)根据题中一次“操作”的含义,将原数表改变第4列,再改变第2行即可;或者改变第2行,改变第4列也可得(写出一种即可);(II)  每一列所有数之和分别为2,0,-2,0,每一行所有数之和分别为-1,1;①如果操作第三列,第一行之和为2a-1,第二行之和为5-2a,列出不等关系解得a,b范围进而分情况进行第二次操作;②如果操作第一行,易由条件得a的值;(III) 按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和),由负数变为正数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得数阵中mn个数之和增加.
法1:

法2:

法3:

3分
(II) 每一列所有数之和分别为2,0, ,0,每一行所有数之和分别为 ,1;
①如果首先操作第三列,则

则第一行之和为 ,第二行之和为
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以
时,则接下来只能操作第一行,

此时每列之和分别为
必有 ,解得
时,则接下来操作第二行
 
此时第
作业帮用户 2017-10-26 举报
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