云霄飞车是迪士尼游乐项目之一，其实就是一种过山车，为明白其原理特简化成以下模型：如图所示轨道在竖直面内，由倾斜、圆形、水平三部分组成，其中圆形部分两边的是圆环，中间的

Question

云霄飞车是迪士尼游乐项目之一，其实就是一种过山车，为明白其原理特简化成以下模型：如图所示轨道在竖直面内，由倾斜、圆形、水平三部分组成，其中圆形部分两边的是圆环，中间的是圆管，B、C、D分别是轨道的三个圆形部分的最低点，B、C间距与C、D间距相等，轨道倾斜、圆形部摩擦不计，飞车与轨道的水平部分间的动摩擦因数μ=0.2，半径R₁=2.0m、R₂=3.0m，整个轨道装置的质量M=4kg，固定在地面上．质量为m=2.0kg的飞车（视为质点，轨道圆管部分的直径比飞车高度略大）从轨道的左侧A点静止滑下，当飞车运动到轨道的第一个圆形部分的最高点时，整个轨道对地刚好无压力，且飞车恰好能过轨道的第二、三个图形部分的最高点．假设水平轨道足够长，轨道的圆形间不互相重叠．重力加速度取g=10m/s²．试求：
（1）飞车出发位置到轨道最低点的高度；
（2）B、C间距应是多少？
（3）轨道的第三个圆形部分的半径R₃是多少；飞车最终停留点与D点的距离．

Answer 1

（1）要使飞车到达轨道的第一个圆形部分的最高点时，整个轨道对地刚好无压力，则说明飞车对轨道向上的压力为F_N=Mg=4×10=40N； 则可知轨道对飞车由向下的40N的压力； 由向心力公式可知：
mg+F_N′=m(v21)/(R1)
对飞车由最高点下滑到第一个轨道的最高点过程由机械能守恒定律可知：
mg（h-2R₁）=(1)/(2)mv₁²
联立解得：h=7m；
（2）飞车恰能通过第二个圆轨道的最高点，则有：
v₂=0；
对从最高点至到达第二个轨道的最高点，由动能定理可知：
mg（h-2R₂）-μmgs=(1)/(2)mv₂²；
联立解得：s=0.5m；
（3）飞车通过最后一个圆形最高点时，根据向心力公式有：
mg=m(v23)/(R3)
对从第二个轨道的最高点到三个轨道的最高点，由动能定理可知：
mg（2R₂-2R₃）-μmgs=(1)/(2)mv₃²
解得：R₃=2.36m；
对第三个轨道的最高点到最终停止过程，由动能定理可知：
μmgx=(1)/(2)mv₃²
解得：x=0.59m；
答：（1）飞车出发位置到轨道最低点的高度7m；
（2）B、C间距应是0.5m；
（3）轨道的第三个圆形部分的半径R₃是2.36m；飞车最终停留点与D点的距离0.59m