贝特朗怪论19世纪末,法国数学家贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.贝特朗奇的解法如下：解法一：任取一弦AB,过点A作

Question

贝特朗怪论
19世纪末,法国数学家贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.
贝特朗奇的解法如下：
解法一：任取一弦AB,过点A作圆的内接等过三角形（如图1）.因为三角形内角A 所对的孤,占整个圆周的1/3 .显然,只有点B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长,故所求概率是1/3 .
解法二：任取一弦AB ,作垂直于AB 的直径PQ .过点P 作等过三角形,交直径于N ,并取OP 的中点M（如图2）.容易证明QN=NO=OM=MP .我们知道,弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦,如果通过MN 线段的,其弦心距均小于ON ,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是1/2 .
解法三：任取一弦AB .作圆内接等边三角形的内切圆（如图3）,这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的1/2 ,它的面积是大圆的1/4 ,设M 是弦AB 的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是1/4 .
细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：
第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.究竟哪种答案是对的或者说哪种答案最科学?
是说“在圆上随机取弦”这句话有问题吗？

Answer 1

这是没有规定概率论基础的问题.
个人浅见：
要理解的话,后两种假设中可以看个特例——圆心,其他点对应的弦都是唯一的,但圆心却有无数条.所以假设的前提本身就有问题.