如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连接BM、CM、DM．求证：BM、CM、DM两两垂直．

Question

如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连接BM、CM、DM．求证：BM、CM、DM两两垂直．

Answer 1

证明：∵AO是四面体ABCD的高，∴AO垂直于面ABCD．
连接OB，OC，OD，则AO分别垂直于OB，OC，OD．
设正四面体ABCD的边长为a，
则AB=BC=CD=DA=a，OB=OC=OD=(√(3))/(3)a，
OA²=AD²-OD²，
OA=(√(6)a)/(3)，OM=(√(6)a)/(6)，
BM²=OM²+OB²，BM=CM=DM=(√(2)a)/(2)，
在三角形MBC中，MB²+MC²=BC²，符合勾股定理，
∴△MBC为直角三角形，且∠CMB=90°，
同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，
∴BM，CM，DM两两垂直．