高次方程求根公式和韦达定理，追加50分要3次和4次方程求根公式和韦达定理，简明扼要，不要长篇大论，说明公式，及应用范围

Question

高次方程求根公式和韦达定理，追加50分要3次和4次方程求根公式和韦达定理，简明扼要，不要长篇大论，说明公式，及应用范围

Answer 1

一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6+p=27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法 和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程 一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程： x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有 (x2+a)2=(p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2=4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。 韦达定理(Vieta'sTheorem）的内容 一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2=-b/a韦达定理 X1*X2=c/a 不能用于线段 用韦达定理判断方程的根 若b^2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根 若b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根 若b^2-4ac