设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.

Question

设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ， .
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 .

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）详见解析.

试题分析：（1）将 代入方程 得到 ，结合题中条件（数列 的各项均为正数，得到 ）求出 的值，从而得到 的值；（2）由十字相乘法结合 得到 的表达式，然后在 的情况下，由 求出数列 的表达式，并验证 是否满足该表达式，从而得到数列 的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到
，于是得到 ，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持 不放缩，在 的条件下放缩为
，最后在 和 时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
（1）令 得： ，即 ， ，
， ，即 ；
（2）由 ，得 ，
， ，从而 ， ，
所以当 时， ，
又 ， ；
（3）解法一：当 时，

作业帮用户 2017-11-16 举报

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