一个梯形下底为2009,下底上一点与上底两点相连把梯形分成三个相似但不全等的直角三角形.上底的长是多少需要用到数论、同余之类的,希望这些步骤写得具体一些所有三角形各边长都是整数

Question

一个梯形下底为2009,下底上一点与上底两点相连把梯形分成三个相似但不全等的直角三角形.上底的长是多少
需要用到数论、同余之类的,希望这些步骤写得具体一些
所有三角形各边长都是整数

Answer 1

【解答】画图,把下底分成两部分,设一部分是x,另一部分是2009－x,由于三个三角形相似,则可以知道上底是这两部分的比例中项.
也就是说x（2009－x）的值是上底的平方,即一个完全平方数,其中x是整数.
如果x是一个完全平方数,那么2009－x也是一个完全平方数,即把2009分成两个完全平方数的和.由于2009＝41×7×7＝（16＋25）×7×7,则x＝16×49,2009－x＝25×49,那么上底的平方就是25×16×49×49＝980×980,即上底的长是980.