重排任一个三位数三个数位以上的数字（三个数字不完全相同）,得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差构成另一个三位数（允许百位数为零).再重复以上过程,问,重复2003次后所得到的数

Question

重排任一个三位数三个数位以上的数字（三个数字不完全相同）,得到一个最大的数和一个最小的数,它们的差构成另一个三位数（允许百位数为零).再重复以上过程,问,重复2003次后所得到的数是多少?证明你的结论

Answer 1

Ⅰ设三位数为ABC,则当A=B=C时,显然结果为0,假设A>=B>=C,且A>C,因此ABC-CBA=[A-C-1]9[10+C-A],因为[A-C-1]+[10+C-A]=9,所以经过一次运算后的三位数的三个数位中间为9,百位个位之和为9,再次假设新生成的三位数重排后为9[9-X]X,其中X<=4,则(9[9-X]X)-(X[9-X]9)=[8-X]9[X+1],因为[8-X]+[X+1]=9,所以可重复以上过程,而X有不断增大的趋势(即X+1),但最大为4,所以最后的三位数为954.
Ⅱ设重排一个三位数三个数位上的数字,得到最大的数为a3a2a1 ,最小的数为a1a2a3 （a3≥a2≥a1）.
（1）若a3=a2=a1,显然所得之数为0；
（2）若a3 >a1,则一次操作后得
a3a2a1 - a1a2a3 = （100 a3+10 a2+ a1）- （100 a1 +10 a2+ a3）
= (a3- a1 -1)×100 + 9×10 + (10+a1-a3)
所得之三位数数十位为9,百位与个位之和为9.重排后最大数可为990,981,972,963,954.分别继续操作如下（只写出每次操作后得到的数）：
990→891→792→693→594→594→…
981→792→693→594→594→…
972→693→594→594→…
963→594→594→…
594→594→…
所以最后得到594.
Ⅲ如果三位数三个数字都相等,自然是0,毫无悬念.
如果不相等,在最大数减最小数时,假设最大数为abc,最小数自然就是cba,由于c

作业帮用户 2016-11-26 举报