在某文艺会场中央有一块边长为a米（a为常数）的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E，F分别为BC，CD边上异于点C的动点．现在顶点A处有视角∠EAF=45°的摄像机，正录制移动区域△ECF内表

Question

在某文艺会场中央有一块边长为a米（a为常数）的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E，F分别为BC，CD边上异于点C的动点．现在顶点A处有视角∠EAF=45°的摄像机，正录制移动区域△ECF内表演的某个文艺节目．设DF=x米，BE=y米．
（1）试将y表示为x的函数； 
（2）求△ECF面积S的最大值．

Answer 1

（1）由题意得tan∠EAD＝(x)/(a)，tan∠EAB＝(y)/(a)，
因为∠EAF=45°，所以∠FAD+∠EAB=45°，…（2分）
所以tan(∠EAD+∠EAB)＝(tan∠EAD+tan∠EAB)/(1−tan∠EADtan∠EAB)＝1，即((x)/(a)+(y)/(a))/(1−(xy)/(a2))＝1，…（5分）
所以y＝(a2−ax)/(x+a)，其中0＜x＜a．…（7分）
（2）由CE=a-y，CF=a-x，
知△ECF的面积S=(1)/(2)CE•CF=(1)/(2)（a-y）（a-x）=(1)/(2)(a−(a2−ax)/(x+a))(a−x)
=(ax(a−x))/(x+a)，0＜x＜a，…（9分）
设x+a=t，则x=t-a，其中0＜t＜2a，所以S＝(2a(t−a)(2a−t))/(t)=2a(−t2+3at−2a2)/(t)＝2a[3a−(t+(2a2)/(t))]≤2a(3a−2√(2a2))＝(6−4√(2))a2，…（14分）
当且仅当t＝√(2)a，即x＝(√(2)−1)a时取等号，…（15分）
故△ECF面积S的最大值为(6−4√(2))a2．…（16分）