2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3，东经103.0）发生7.0级地震．一方有难，八方支援，重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动．其中重庆某医院外科派出由5名骨干

Question

2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3，东经103.0）发生7.0级地震．一方有难，八方支援，重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动．其中重庆某医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组，奔赴受灾第一线参与救援．现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的芦山、宝山、天全三县中的某一个．
（1）求每个县至少分配到一名医生的概率；
（2）若将随机分配到芦山县的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

（1）每一位医生都有3种分配方法，因此5名医生共有3⁵种分配方法．设A表示事件“每个县至少分配到一名医生”，则A包括以下两种分配方案：1，1，3；2，2，1．其中1，1，3型共有(C35C12C11A33)/(2!)，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有(C15C24C22A33)/(2!)方法．
∴事件A的概率P＝(C35A33+(C15C24)/(A22)A33)/(35)＝(50)/(81)
（2）因为每一为医生分配到三个地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，(1)/(3))，故P(ξ＝i)＝

C

i 5

((1)/(3))i((2)/(3))5−i，(i＝0，1，2，…，5)
故ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

5

P

(32)/(243)

(80)/(243)

(80)/(243)

(40)/(243)

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问题解析

（1）每一位医生都有3种分配方法，因此5名医生共有3⁵种分配方法．设A表示事件“每个县至少分配到一名医生”，则A包括以下两种分配方案：1，1，3；2，2，1．
其中1，1，3型共有

(C35C12C11A33)/(2!)，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有(C15C24C22A33)/(2!)方法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（2）因为每一为医生分配到三个地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，(1)/(3))，故P(ξ＝i)＝

C

i 5

((1)/(3))i((2)/(3))5−i，(i＝0，1，2，…，5)，再利用Eξ=np，Dξ=np（1-p）即可得出所求．

名师点评

本题考点：

离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．

考点点评：

本题考查了含有“均分”问题的古典概型的概率计算、二项分布的数学期望及其方差的计算，属于难题．

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