国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难的学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额不超过6000元．某大学2013届毕业生王昌在本科

Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难的学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额不超过6000元．某大学2013届毕业生王昌在本科上学期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．工作后，王昌计划前12个月每个月还款500元，第13个月开始，每月还款比上一个月多x元．
（1）用x和n表示王昌第n个月的还款额a_n；
（2）当x=40时，王昌将在第几个月还清贷款？

Answer 1

（1）依题意，王昌前12个月每个月的还款额为500元，
则an＝500(1≤n≤12，n∈N*)，…（2分）
第13个月开始，逐月的还款额构成一个首项为500+x，公差为x的等差数列，
则a_n=500+x+（n-13）x=500+（n-12）x，（13≤n≤36，n∈N^*）．
所以

an＝

500，(1≤n≤12，n∈N*)

500+(n−12)x，(13≤n≤36，n∈N*)

．…（6分）
（2）设王昌第n个月还清贷款，
∵12×500＜24000，
∴n≥13，…（7分）
则应有12×500+(500+40)×(n−12)+((n−12)(n−12−1))/(2)×40≥24000，…（10分）
整理得n²+2n-1068≥0，…（11分）
解之得n≥−1+√(1069)，或n≤−1−√(1069)（舍去）
由于31＜−1+√(1069)＜32，所以n=32≤36．
即王昌将在第32个月还清贷款．…（13分）