将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=23，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线

Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角 尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB= 2

3

，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．

Answer 1

在Rt△ABC中，AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

3

，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF= (3)/(2) ．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF= (1)/(2) ，
∴DP=

P F 2 +D F 2

= (10)/(2) ．

（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF= (3)/(2) ，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=

3

，
∴cos∠PDF= (DF)/(PD) = (3)/(2) ，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP= (3)/(2) 时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC ∥ DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2

3

，BC=

3

，
∴根据勾股定理得：AC=3，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP= (1)/(2) AC= (3)/(2) ，
∵BC ∥ DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S _{平行四边形DPBQ} =DP•CP= (9)/(4) ．