（理科学生做）甲、乙、丙三名学生参加A，B两所大学的自主招生考试，假设他们能通过A大学考试的概率都是12，他们能通过B大学的概率都是23．（1）求甲只通过一所大学考试的概率；（2）

Question

（理科学生做）甲、乙、丙三名学生参加A，B两所大学的自主招生考试，假设他们能通过A大学考试的概率都是(1)/(2)，他们能通过B大学的概率都是(2)/(3)．
（1）求甲只通过一所大学考试的概率；
（2）设三名学生中同时通过两所大学考试的人数为X，求X的概率分布与数学期望．

Answer 1

（1）记甲通过A大学而不通过B大学考试为事件E，
甲通过B大学而不通过A大学考试为事件F，
则P（E）=(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(6)，P（F）=(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(3)，
∴甲只通过一所大学考试的概率P=P（E）+P（F）=(1)/(6)+(1)/(3)=(1)/(2)．
（2）每名学生同时通过两所大学考试的概率P=(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(3)，
三名学生同时通过两所大学考试的人数X～B（3，(1)/(3)），
P（X=0）=((2)/(3))3=(8)/(27)，
P（X=1）=

C

1 3

((1)/(3))((2)/(3))2=(4)/(9)，
P（X=2）=

C

2 3

((1)/(3))2((2)/(3))=(2)/(9)，
P（X=3）=（(1)/(3)）³=(1)/(27)，
∴三名学生同时通过两所大学考试的人数X的概率分布列为：

X	0	1	2	3
P	(8)/(27)	(4)/(9)	(2)/(9)	(1)/(27)

∴EX=0×(8)/(27)+1×(4)/(9)+2×(2)/(9)+3×(1)/(27)=1．