我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=−1100(x−60)2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快

Question

我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=−(1)/(100)(x−60)2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝−(99)/(100)(100−x)2+(294)/(5)(100−x)+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

Answer 1

（1）∵每投入x万元，可获得利润P=-(1)/(100)（x-60）²+41（万元），
∴当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，
∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）；
（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，
所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[-(1)/(100)（50-60）²+41]=80（万元），
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，
∴Q=-(99)/(100)[100-（100-a）]²+(294)/(5)[100-（100-a）]+160=-(99)/(100)a²+(294)/(5)a+160，
∴y=P+Q=[-(1)/(100)（a-60）²+41]+[-(99)/(100)a²+(294)/(5)a+160]=-a²+60a+165=-（a-30）²+1065，
∴当a=30时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（万元）．
（3）有很大的实施价值．
规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．