已知x,y,z都大于零且小于一求证x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1

Question

已知 x,y,z都大于零且小于一 求证x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)小于1

Answer 1

构构一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上 f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z
当x=0时,f(0)=y(1-z)+z f(0)-1 =y(1-z)+z-1 =y+z-1-yz =-(y-1)(z-1)-----(y-1<0,z-1<0) <0
所以f(0)<1 当x=1时f(1)=(1-y)+y(1-z) f(1)-1 =(1-y)+y(1-z)-1 =-yz--------(y>0,z>0) <0
所以f(1)<1 因为f(x)是一次函数 且f(0)<1,f(1)<1 所以在[0,1]上,恒有f(x)<1 即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1

直接证明
将(1-x)(1-y)(1-z)>0展开有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1-xyz<1