已知XYZ均大于0小于1,求证X(1-Y)+Y(1-Z)+Z(1-X)小于1

Question

已知X Y Z 均大于0小于1,求证X(1-Y)+Y(1-Z)+Z(1-X)小于1

Answer 1

构构一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上
f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z
当x=0时,f(0)=y(1-z)+z
f(0)-1
=y(1-z)+z-1
=y+z-1-yz
=-(y-1)(z-1)-----(y-1<0,z-1<0)
<0
所以f(0)<1
当x=1时,f(1)=(1-y)+y(1-z)
f(1)-1
=(1-y)+y(1-z)-1
=-yz--------(y>0,z>0)
<0
所以f(1)<1
因为f(x)是一次函数
且f(0)<1,f(1)<1
所以在[0,1]上,恒有f(x)<1
即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1