如图，固定在水平桌面上的“∠”型平行导轨足够长，间距L=1m，电阻不计．倾斜导轨的倾角θ=53°，并与R=2Ω的定值电阻相连．整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀

Question

如图，固定在水平桌面上的“∠”型平行导轨足够长，间距L=1m，电阻不计．倾斜导轨的倾角θ=53°，并与R=2Ω的定值电阻相连．整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中．金属棒ab、cd的阻值为R₁=R₂=2Ω，cd棒质量m=1kg．ab与导轨间摩擦不计，cd与导轨间的动摩擦因数μ=0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现让ab棒从导轨上某处由静止释放，当它滑至某一位置时，cd棒恰好开始滑动．

（1）求此时通过ab棒的电流；
（2）求导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于多少？
（4）假如cd棒与导轨间的动摩擦因数可以改变，则当动摩擦因数满足什么条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动？

Answer 1

（1）ab棒沿斜面滑下切割磁感线产生的感应电流的方向是b→a，通过cd棒的电流方向如图c→d．cd棒刚要开始滑动时，其受力分析如图所示．
由平衡条件得：BIL_cdcos53°=f
由摩擦力公式得：f=μN，N=mg+BIL_cdsin53°
联立以上三式，得：I_cd=1.67A，I_ab=2I_cd=3.34A 
（2）根据题意画出等效电路如图所示：
设I_cd=I，因为电阻R与cd棒并联，故电阻R上产生的热功率与cd棒产生的热功率相等，即：PR=Pcd=I2R
又因为流经ab棒的电流为2I，故ab棒产生的热功率为：Pab=4I2R
整个回路产生的热功率为：P=6I²R
又因为回路中消耗的热功率源于ab棒克服安培力做功，所以导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比为：
 (Pcd)/(PFA)=(Pcd)/(PFA)=(I2R)/(6I2R)=(1)/(6)                       
（3）ab棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，有：F_A=mg_absin53°
cd棒所受最大安培力应为(1)/(2)FA，要使cd棒不能滑动，需：(1)/(2)FAcos53°≤μ（mg+(1)/(2)FAsin53°）
由以上两式联立解得：m_ab≤2.08kg                       
（4）ab棒下滑时，cd棒始终静止，有：F_Acos53°≤μ（mg+F_Asin53°）
解得：μ≥(FAcos53°)/(mg+FAsin53°)=(cos53°)/((mg)/(FA)+sin53°)
当ab棒质量无限大，在无限长轨道上最终一定匀速运动，安培力F_A趋于无穷大，cd棒所受安培力F_A^ˊ亦趋于无穷大，有：μ≥(cos53°)/(sin53°)=0.75    
答：（1）此时通过ab棒的电流为3.34A；
（2）导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比为1：6；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于2.08kg．
（4）假如cd棒与导轨间的动摩擦因数可以改变，则当动摩擦因数满足μ≥0.75的条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动．