如图，光滑水平面AB与竖直面上的半圆形固定导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨

Question

如图，光滑水平面AB与竖直面上的半圆形固定导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：

（1）弹簧对物块的弹力做的功；
（2）物块从B至C克服阻力做的功；
（3）物块离开C点后落回水平面AB时动能的大小．

Answer 1

（1）设物块进入半圆导轨B点瞬间的速度为v_B，物块到达B点时受重力mg和支持力N=7mg作用，这时对物块依牛顿第二定律得：
7mg−mg＝m(v2B)/(R)…①
设弹簧对物块的弹力做的功为W_F，对弹簧推动物块过程依动能定理得：
WF＝(1)/(2)m

v

2 B

−0…②
由①②解得：W_F=3mgR…③
（2）设物块到达C点时的速度为v_C，依题意可判知物块在C点仅受重力mg作用，对物块在C点依牛顿第二定律得：mg＝m(v2C)/(R)…④
设物块从B到C过程，摩擦阻力对物块所做功的大小为W_f，对物块的此过程依动能定理得：−mg•2R−Wf＝(1)/(2)m

v

2 C

−(1)/(2)m

v

2 B

…⑤
由①④⑤解得：Wf＝(1)/(2)mgR…⑥
故物块从B到C过程克服阻力做的功为(1)/(2)mgR．
（3）设物块落回水平面AB时速度大小为v_t，取水平面AB为重力势能零势位，对物块由C落到水平面AB的过程，依机械能守恒定律得：(1)/(2)m

v

2 t

＝(1)/(2)m

v

2 C

+mg•2R…⑦
由④⑦解得物块落回水平面AB时动能的大小为W_K=(1)/(2)m

v

2 t

＝(5)/(2)mgR…⑧
答：（1）弹簧对物块的弹力做的功是3mgR；
（2）物块从B至C克服阻力做的功是(1)/(2)mgR；
（3）物块离开C点后落回水平面AB时动能的大小是(5)/(2)mgR．