如图所示，两根轻弹簧的原长都是d，劲度系数都为k．由于质量为m的小球受重力作用，使系统处于实线所画的平衡位置，此时弹簧从水平位置下垂的倾角为φ．试证：此系统在竖直方向所作

Question

如图所示，两根轻弹簧的原长都是d，劲度系数都为k．由于质量为m的小球受重力作用，使系统处于实线所画的平衡位置，此时弹簧从水平位置下垂的倾角为φ．试证：此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动，并求其固有的角频率．
[可能用到的知识：若|θ|很小，则sin（θ₀+θ）≈sinθ₀，其中θ₀是已知一定角]．

Answer 1

设小球在平衡位置处下垂的竖直距离为x₀，则此时每根弹簧的总长度为(x0)/(sinφ)，若以平衡位置处为原点O，向下方向为x轴正方向，
如图所示，列出平衡方程（设平衡时每根弹簧弹力大小为F₀），
mg-2F₀sinφ=0
F0＝k((x0)/(sinφ)−d)，
从而得mg−2k((x0)/(sinφ)−d)sinφ＝0，
若小球从平衡位置在竖直方向（向下）微小位移x，弹簧与水平方向夹角φ
有微小改变量△φ，易知合力在竖直方向，∑F＝mg−2k((x+x0)/(sin(φ+△φ))−d)sin(φ+△φ)，
利用提示及所得结果化简得：∑F=-2kx，（负号表明合力方向与位移x的方向相反），所以此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动，其固有的角频率为ω=√((2k)/(m))．
答：其固有的角频率是√((2k)/(m))．