21世纪我国将全面实现小康社会，家庭理财将成为增加居民收入新亮点，某投资机构根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益

Question

21世纪我国将全面实现小康社会，家庭理财将成为增加居民收入新亮点，某投资机构根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）若你家现有20万元资金，全部用于投资理财，问：请你根据所学知识帮助你的父母来合理分配资金获得最大收益，并计算最大收益为多少万元？

Answer 1

（1）设f（x）=kx，g（x）=a√(x)，
由题意得，f（1）=k=(1)/(8)，g（1）=a=(1)/(2)，
则f（x）=(1)/(8)x，（x≥0）；g（x）=(1)/(2)√(x)，（x≥0）．
（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元，
由题意得，y=f（x）+g（20-x）
=(1)/(8)x+(1)/(2)•√(20−x)，（0≤x≤20），
令√(20−x)=t，
则y=-(1)/(8)（t²-20）+(1)/(2)t=-(1)/(8)（t-2）²+3，
故当t=2，即x=16万元时，收益最大，
此时，y_max=3万元．