平面上一个点的梯度方向,是垂直于这个平面的切平面吗?看的一本书上写的是垂直于levelsurface的方向,后来一查,levelsurface应该是等高面的意思；就觉得很困惑了~到底梯度垂直于哪个啊?不好

Question

平面上一个点的梯度方向,是垂直于这个平面的切平面吗?
看的一本书上写的是垂直于level surface的方向,后来一查,level surface应该是等高面的意思；就觉得很困惑了~到底梯度垂直于哪个啊?
不好意思，曲面上一点，我没说清楚

Answer 1

应该是曲面上的一点.
首先要了解梯度和切平面的概念.
对一个二元函数来说z=f(x,y)确定了一个曲面.而它的梯度为
gradf(x,y)=бf/бx*i+бf/бy*j
而在曲面z=f(x,y)上任意一点的法向量为{бf/бx,бf/бy,-1}
显然梯度是在二维平面内的方向导数,而曲面的法向量是在三维空间里面的方向.
梯度的方向是与过曲面上点P(x0,y0,z0)的等高线f(x,y)=z0在点P的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.
所以梯度的方向应该是垂直于等高面,而不是曲面的切平面.也就是说,梯度的方向与切平面的法向量在xoy平面上的投影的方向平行.