为了考核某特警部队的应急反应能力，拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处．通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上，B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上

Question

为了考核某特警部队的应急反应能力，拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处．通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上，B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上（如图），测得C、B相距31千米，D、B相距20千米，C、D相距21千米，求A、D之间的距离．

Answer 1

如图，易知∠CAD=25°+35°=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
由余弦定理得：cosB=(BC2+BD2)/(2SC•BD)=(312+202-212)/(2×31×20)=(23)/(31)，
∴sinB=√(1-cos2B)=(12√(3))/(31)，
又在△ABC中，由正弦定理得：AC=(BCsinB)/(sinA)=(32×(12√(3))/(31))/((√(3))/(2))=24，
由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AC•ABcosA，即31²=AB²+24²-2×AB×24cos60°，
∴AB²-24AB-385=0，
解得：AB=35或AB=-11（舍去），
∴AD=AB-BD=35-20=15（km）．