a,b,c为复数,且模均为1求证(a+b)(a+c)(b+c)/abc为实数两位回答的都很好可我现在是高二水平还没有学过极坐标也不知道exp[iφ]是什么东东老师说要用向量模的运算来解答

Question

a,b,c为复数,且模均为1 求证(a+b)(a+c)(b+c)/abc为实数
两位回答的都很好 可我现在是高二水平 还没有学过极坐标 也不知道exp[iφ]是什么东东 老师说要用向量模的运算来解答

Answer 1

∵a、b、c的模为1
∴a = exp[iφ1],b = exp[iφ2],c = exp[iφ3]
(a+b)(a+c)(b+c) = a²b + ab² + b²c + a²c + ac² + bc² + 2abc
(a+b)(a+c)(b+c)/abc = a/c + b/c +b/a +a/b +c/b +c/a +2
=exp[i(φ1-φ3)] +exp[i(φ2-φ3)]+exp[i(φ2-φ1)]+exp[-i(φ2-φ1)]+exp[-i(φ2-φ3)]+exp[-i(φ1-φ3)] +2
然后用欧拉公式cos x = 1/2[exp(ix)+exp(-ix)]
∴(a+b)(a+c)(b+c)/abc = 2cos(φ1-φ2)+2cos(φ2-φ3)+2cos(φ1-φ3)+2∈R
这道题的关键是由a,b,c为复数,且模均为1 得出a、b、c的表达式,也就说它们都是相因子