某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率

Question

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为(1)/(8)的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过(1)/(2)，且他直到第二次考核才合格的概率为(9)/(32)．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

Answer 1

（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为(1)/(8)的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为(9)/(32)．
得（1-p₁）（p₁+(1)/(8)）=(9)/(32)，
解得p₁=(1)/(4)或p₁=(5)/(8)．
∵p₁≤(1)/(2)，∴p₁=(1)/(4)，
即小李第一次参加考核就合格的概率为(1)/(4)
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为(1)/(4)，(3)/(8)，(1)/(2)，(5)/(8)，
∴P（ξ=1）=(1)/(4)，P（ξ=2）=(9)/(32)，
P（ξ=3）=（1-(1)/(4)）（1-(3)/(8)）(1)/(2)=(15)/(64)
P（ξ=4）=（1-(1)/(4)）•（1-(3)/(8)）•（1-(1)/(2)）•1=(15)/(64)
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•(1)/(4)+2•(9)/(32)+3•(15)/(64)+4•(15)/(64)=(157)/(64)