数学问题10求值:tg5度tg55度tg65度tg75度.步骤写清楚好吗?

Question

数学问题10
求值:tg5度tg55度tg65度tg75度.
步骤写清楚好吗?

Answer 1

首先必须知道公式：
sin3x=4sinxsin(60°-x)sin(60°+x)
其实很好证明,利用公式sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx,令y=2x ,可得：sinxcos2x+sin2xcosx
=sinx(cos^2x-sin^2x)+2sinxcos^2x
=4sinx[(3cos^2x)/4-(sin^2x)/4]
=4sinx[(√3/2)^2·cos^2x-(1/2)^2·(sin^2x)]
=4sinx[(√3/2)·cosx-(1/2)·sinx]][(√3/2)·cosx+(1/2)·sinx]
=4sinxsin(60°-x)sin(60°+x)
同同理有：cos(x+y)=cosxcosy-sinxsinycos3x=4cosxcos(60°-x)cos(60°+x)
令x=5°,有：sin15°=4sinx·sin55°·sin65°,
cos15°=4cosx·cos55°·cos65°
所以tan5°tan55°tan65°tan75°=tan15°=cot75°
所以“tg5度tg55度tg65度tg75度”=cot75°·tan75°=1