对勾函数的详细推导来源及应用

Question

对勾函数的详细推导
来源及应用

Answer 1

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数,是形如f(x)=ax+b/x的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意和学习.学了对钩函数对于学习与考试都有很大的作用.一般的函数图像形似两个中心对称的对勾,故名.当x>0时,f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便,规定a>0,b>0）,也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）.同时它是奇函数,就可以推导出x<0时的性质.令k=sqrt(b/a),那么,增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0　　对勾函数性质的研究离不开均值不等式.说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的.我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是a^2-2ab+b^2≥0,有a^2+b^2≥2ab,两边同时加上2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开根号,就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab).现在把ax+b/x套用这个公式,得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab),这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值,解出x=sqrt(b/a),对应的f(x)=2sqrt(ab).我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均数的公式.那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数.这些知识点也是非常重要的.